Class 12 Math Model Paper 2021 for UP Board

Class 12 Math Model Paper 2021 for UP Board

Class 12 Math Model Paper 2021 for UP Board

Class 12 Math Model Paper for UP Board Exam 2021

 अनुक्रमांक …………
 नाम ………….
  122                                                 362(UP)
                              2021
                      गणित मॉडल पेपर
                          कक्षा – 12

समय 3 घंटे 15 मिनट]                    [ पूर्णांक : 100

नोट : प्रारंभ के 15 मिनट परीक्षार्थियों को प्रश्न पत्र पढ़ने के लिए निर्धारित है।

निर्देश : i) इस प्रश्न पत्र में कुल 9 प्रश्न हैं।

ii) सभी प्रश्न अनिवार्य हैं।

iii) प्रत्येक प्रश्न के प्रारंभ में स्पष्टत: लिख दिया गया है कि उसके
कितने खंड हल करने हैं।

(iv) प्रश्नों के अंक उनके सम्मुख अंकित है।

(v) प्रथम प्रश्न से प्रारंभ कीजिए और अंत तक करते जाइए।

(vi) जो प्रश्न न आता हो, उस पर समय नष्ट मत कीजिए।

1. निम्नलिखित सभी खंडों को हल कीजिए :

(क) मान लीजिए कि f (x) = x² द्वारा
परिभाषित फलन f : R → R है। तब f

(i) एकैकी आच्छादक है
(ii) बहु-एक आच्छादक है
(iii) एकैकी है परन्तु आच्छादक नही है
(iv) न तो एकैकी और न आच्छादक है 1

(ख) ∫ x cosx dx का मान होगा –

(i) x cosx – sinx + C
(ii) x sinx + cosx + C
(iii) – x cosx + sinx + C
(vi) – x sinx – cosx + C 1

(ग) यदि P(A) = 1/2, P(B) = 0 तब P(A/B) का मान होगा –
(i) 0
(ii) 1
(iii) 1/2
(iv) परिभाषित नहीं है 1

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(घ) वक्र y = 2x² + 3sinx के x = 0 पर अभिलम्ब की प्रवणता है –

(i) 3
(ii) 1/3
(iii) -3
(iv) -1/3 1

(ड़) ∫eˣ secx (1+tanx) dx बराबर है –

(i) eˣ cosx + C
(ii) eˣ secx + C
(iii) eˣ sinx + C
(iv) eˣ tanx + C 1

2. निम्नलिखित सभी खंडों को हल कीजिए :

(क) सिद्ध कीजिए कि sin⁻¹(-x) = – sin⁻¹x, x ∈ [-1, 1] 1

(ख) एक गुब्बारा जो सदैव गोलाकार रहता है की त्रिज्या चर है। गुब्बारे के आयतन की परिवर्तन की दर इसकी त्रिज्या के सापेक्ष ज्ञात कीजिए जबकि इसकी त्रिज्या 7 सेमी है। 1

(ग) A और B दो स्वतंत्र घटनाएं हैं यदि P(A) = 0.3, P(B) = 0.6 तो P(A∩B) ज्ञात कीजिए। 1

(घ) एक कण पर तीन बल 2i + 3j + 4k, i – 4j, -3i +j – 4k लग रहे है। सिद्ध कीजिए कि कण संतुलन की अवस्था में है। 1

(ड़) y = cos⁻¹(sinx) का x के सापेक्ष अवकल गुणांक ज्ञात कीजिए। 1

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3. निम्नलिखित सभी खंड कीजिए –
(क) सिद्ध कीजिए कि f (x) = 2x ∀x ∈ R द्वारा प्रदत्त फलन f : R → R आच्छादक है। 2

(ख) यदि y = secx + tanx हो तो सिद्ध कीजिए कि d²y/dx² = cosx/(1-sinx)² 2

(ग) फलन sin2x/acos²x + bsin²x का x के सापेक्ष समाकलन कीजिए। 2

(घ) दो सदिश a⃗ = 2i + j + 3k और b⃗ = 3i – 2j + k है। सिद्ध कीजिए कि उनके बीच का कोण 60° है। 2

4. निम्नलिखित सभी खंड कीजिए –
(क) वक्र y = x² – 4x – 5 के बिंदु x = -2 पर स्पर्श रेखा का समीकरण ज्ञात कीजिए। 2

(ख) यदि सदिश a⃗ = i + 3j – 5k तथा b⃗ = 5i – j – 3k है तो (a+b).(a-b) ज्ञात कीजिए। 2

(ग) अंतराल ज्ञात कीजिए जिनमें f(x) = 10 – 6x – 2x²
(a) निरंतर वृध्दिमान है, (b) निरंतर ह्रासमान है। 2

(घ) बिंदु (-2,3) से होकर जाने वाले ऐसे वक्र का समीकरण ज्ञात कीजिए। जिसके किसी बिंदु (x, y) पर स्पर्श-रेखा की प्रवणता 2x/y² है। 2

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5. निम्नलिखित में से किन्हीं पांच खंडों को हल कीजिए –

(क) सिध्द कीजिए कि – a²   b²+c²    bc
                                     b²   c² + a²   ca  
                                     c²   a² + b²   ab

= (a – b) (b – c) (c – a) (a+b+c) (a² + b² + c²)             5

(ख) निम्न प्रकार से परिभाषित फलन की जांच x = 0 पर कीजिए – 5

        f(x) =    sin1/x ,   x ≠ 0
                              0 ,           x = 0

(ग) सिद्ध कीजिए कि वक्र x² – y² = 16 तथा xy = 15 एक दूसरे को समकोण पर काटते हैं। 5

(घ) परवलय y² = 4ax तथा सरल रेखा y = mx द्वारा घिरे क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए। 5

(ड़) सदिश ⃗a = 3i + 4j – 2k की समांतर एकांक सदिश क्या है? ⃗a में किस सदिश का योग किया जाए कि परिणामी सदिश i हो जाए? 5

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(च) सिद्ध कीजिए कि ∫₀π\4 log(1+ tanx) dx = (π/8)loge2             5

6. निम्नलिखित में से किन्हीं पांच खंडों को हल कीजिए –

(क) 52 ताशों की गड्डी में से एक के बाद एक तीन पत्ते बिना प्रतिस्थापित किये निकाले गए। पहले 2 पत्तों की बादशाह और तीसरे का इक्का होने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए। 5

(ख) आव्यूह A =    1   3   5
                            -6  8   3
                            -6  4   5

को सममित तथा विषम सममित आव्यूह के योग के रूप में व्यक्त कीजिए। 5

(ग) अवकल समीकरण x² dy/dx = x² – 2y² + xy को समघातीय दर्शाते हुए हल कीजिए। 5

(घ) बिंदुओं A (2, 2, -1), B(3, 4, 2) और C(8, 0, 6) से होकर जाने वाले समतल का समीकरण ज्ञात कीजिए। 5

(ड़) निम्न व्यवरोधों के अंतर्गत z = 8x + 7y का अधिकतम मान ज्ञात कीजिए –
x ≤20, x ≤40, x + y ≤45, 3x + y ≤66, x ≥ 0, y ≥ 0 5

(च) तीन बिंदुओं के स्थिति सदिश क्रमशः (- 4i + 2j – 3k), (i + 3j -2k) और (-9i + j + 4k) है। दिखाइए कि यह बिंदु संरेख है। 5

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7. निम्नलिखित में से किसी एक खंड को हल कीजिए –

(क) यदि A = 2   -3   5
                       3    2  -4 
                       1     1   -2 

है तो A⁻¹ ज्ञात कीजिए। A⁻¹ का प्रयोग करते हुए निम्नलिखित समीकरण निकाय को हल कीजिए –
2x – 3y + 5z = 11; 3x + 2y — 4z = -5; x + y – 2z = -3            8

(ख) रेखीय प्रोग्रामन समस्या का निम्न अवरोधों के अंतर्गत हल कीजिए :
5x + 3y ≤15, 2x + 5y ≤10, तथा
x ≥0, y ≥0, z = 10x + 3y का अधिकतम मान ज्ञात कीजिए। 8

8. निम्नलिखित में से किसी एक खंड को हल कीजिए :

(क) अवकल समीकरण x·(dy/dx) + y = x³y⁶ का हल ज्ञात कीजिए। 8

(ख) दिखाइए की रेखाएं (x – 1)/2 = (y – 2)/3 = (z – 3)/4 और (x – 2)/3 = (y – 3)/4 = (z – 3)/5 सहतलीय है। इनसे होकर जाने वाले समतल का समीकरण भी ज्ञात कीजिए। 8

9. निम्नलिखित में से किसी एक खंड को हल कीजिए –

(क) सिद्ध कीजिए कि शंकु के अंतर्गत महत्तम वक्र पृष्ठ वाले लम्ब वृत्तीय बेलन की त्रिज्या शंकु की आधी होती है। 8

(ख) सिद्ध कीजिए कि वक्र ax² + by² = 1 और a’x² + b’y² = 1 एक दूसरे को समकोण पर काटेंगे यदि
(1/a) – (1/b) = (1/a´) – (1/b´) 8

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